Question

【題目】設橢圓C： 的一個頂點與拋物線： 的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，離心率 ，過橢圓右焦點的直線l與橢圓C交于M、N兩點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在直線l，使得 ，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=±（x﹣1）

【解析】

（1）根據拋物線的焦點求得的值，利用離心率和列方程，解方程后可求得的值，進而求得橢圓方程.（2）當斜率為零時，驗證，不符合題意.當斜率不為零時，設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理，計算，可求得直線的斜率，由此求得直線的方程.

解：（I）由已知得b，

又e，

∴a2=3，

∴橢圓C的方程為：；；

（II）若直線l的斜率為0，則3（舍去）；

若直線斜率不為0，設直線l的方程為：x=my+1，

代入橢圓C的方程，消去y整理得：

（3+2m2）y2+4my﹣4=0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），

則有：y1+y2，y1y2，

又∵x1=my1+1，x2=my2+1，

∴x1x2+y1y2

=（my1+1）（my2+1）+y1y2

=（1+m2）y1y2+m（y1+y2）+1

=（1+m2）（）+m（）+1

=﹣1，

解得m=±，

∴直線l方程為：y=±（x﹣1）；