Question

已知函數f(x)=(x²-2ax)e^x,x∈R,a∈R.

（1）當a≥0時,f(x)是否存在最小值?若存在,請求出相應x的值；若不存在,請說明理由.

（2）當x∈［-2,］時,若f(x)的圖象上存在兩點M,N,使得直線MN⊥y軸，求實數a的取值范圍.

Answer 1

解析:(1)∵f′(x)=(x²+2x-2ax-2a)e^x,令f′(x)=0,即x²+2(1-a)x-2a=0,

解得x₁=a-1,x₂=a-1+.

∵a≥0,∴x₁＜-1,x₂≥0.

當x＜x₁或x＞x₂時,f′(x)＞0;當x₁＜x＜x₂時,f′(x)＜0,

∴f(x)在(-∞,x₁)和(x₂,+∞)上單調遞增,在(x₁,x₂)上單調遞減.

∴f(x)在x₁處取極大值,在x₂處取得極小值.

又∵當x=0時,f(x)=0;

當x＜0時,f(x)=x(x-2a)e^x＞0,

∴x∈(-∞,a-1-)時,f(x)∈(0,f(a-1-)).

x∈(a-1-,a-1+)時,

f(x)∈(f(a-1-),f(a-1+));

x∈(a-1+,+∞)時,f(x)∈(f(a-1+),+∞),

又f(a-1+)=(2-2)e^a-1+≤0,

∴x=a-1+時，f(x)取得最小值.

(2)∵x∈［-2,］時f(x)的圖象上存在兩點M,N,使得直線MN⊥y軸,則x∈［-2,］時f(x)不是單調增函數,也不是單調減函數,

∴f′(x)=(x²+2x-2ax-2a)e^x在x∈［-2,］上有正有負.

∴g(x)=x²+2x-2ax-2a在x∈［-2,］上有正有負.

而g(-1)=1-2+2a-2a=-1＜0,

∴g(x)=x²+2x-2ax-2a在x∈［-2,］上有正有負的充要條件為

g(-2)g()＜0或或

由g(-2)g()＜0,解得a＞0或a＜;

由或解得a不存在.

綜上,a的取值范圍是a＞0或a＜.