Question

已知F（1，0），P是平面上一動點，P到直線l：x=-1上的射影為點N，且滿足(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點M（1，2）作曲線C的兩條弦MD，ME，且MD，ME所在直線的斜率為k₁，k₂，滿足k₁k₂=1，
求證：直線DE過定點，并求出這個定點．

Answer 1

分析：（1）設曲線C上任意一點P（x，y），又F（1，0），N（-1，y），從而

PN

=(-1-x，0)，

NF

=(2，-y)，由此能得到所求的P點的軌跡C的方程．
（2）由題意可知直線DE的斜率存在且不為零，可設DE的方程為x=my+a，并設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．聯立：

y2=4x x=my+a

，代入整理得y²-4my-4a=0，再由韋達定理進行求解．

解答：解：（1）設曲線C上任意一點P（x，y），又F（1，0），N（-1，y），從而

PN

=(-1-x，0)，

NF

=(2，-y)，

PN

+

1

2

NF

=(-x，-

1

2

y)，(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0?-2x+

1

2

y2=0
化簡得y²=4x，即為所求的P點的軌跡C的對應的方程．
（2）由題意可知直線DE的斜率存在且不為零，可設DE的方程為x=my+a，
并設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．聯立：

y2=4x x=my+a

代入整理得y²-4my-4a=0從而有y₁+y₂=4m①，y₁y₂=-4a②
又k1k2=1?

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=1，又y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴k1k2=1?

y1-2

y 2 1 4 -1

•

y2-2

y 2 2 4 -1

=1
?

16

(y1+2)(y2+2)

=1?（y₁+2）（y₂+2）=16，展開即得y₁y₂+2（y₁+y₂）-12=0
將①②代入得-4a+2×4m-12=0，即a=2m-3，得，DE：x=my+2m-3，
即（x+3）=m（y+2），故直線DE經過（-3，-2）這個定點．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法和證明直線DE過定點，并求出這個定點．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．