Question

（2012•臺州模擬）已知F（1，0），P是平面上一動點，P在直線l：x=-1上的射影為點N，且滿足(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0．
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過F的直線與軌跡C交于A、B兩點，試問在直線l上是否存在一點Q，使得△QAB為等邊三角形？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設曲線C上任意一點P（x，y），用坐標表示向量，利用(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0，即可求得點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設AB的方程為x=my+1，代入拋物線方程，利用韋達定理確定|AB|=x₁+x₂+2=4m²+4，AB的中點坐標，設直線l上存在一點Q（-1，t），使得△QAB為等邊三角形，從而可得方程組，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設曲線C上任意一點P（x，y），
∵F（1，0），N（-1，y），∴

PN

=(-1-x，0)，

NF

=(2，-y)
∴

PN

+

1

2

NF

=（-x，-

1

2

y）
∵(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0
∴-2x+

1

2

y2=0
∴y²=4x，即為所求的P點的軌跡C對應的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程為x=my+1，代入拋物線方程可得y²-4my-4=0
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，∴x₁+x₂=

1

4

（y₁²+y₂²）=4m²+2
∴|AB|=x₁+x₂+2=4m²+4，AB的中點坐標為（2m²+1，2m）
設直線l上存在一點Q（-1，t），使得△QAB為等邊三角形，
則

2m-t 2m2+2 × 1 m =-1 3 2 ×(4m2+4)= (2m2+2)2+(2m-t)2

∴

m= 2 t=8 2

或

m=- 2 t=-8 2

∴直線l上存在一點Q（-1，8

2

）或Q（-1，-8

2

），使得△QAB為等邊三角形．

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．