Question

已知F（1，0），P是平面上一動點，P到直線l：x=-1上的射影為點N，且滿足(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點M（1，2）作曲線C的兩條弦MA，MB，設MA，MB所在直線的斜率分別為k₁，k₂，當k₁，k₂變化且滿足k₁+k₂=-1時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出動點P的坐標，求出N點的坐標，再求出向量

PN

，

NF

，然后代入(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0整理即可得到點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設出點A，B的坐標，寫出直線MA，MB的方程，和拋物線聯立后利用根與系數關系求出A點和B點的縱坐標，然后求出兩縱坐標的和與積，然后由直線方程的兩點式寫出AB的直線方程，把兩縱坐標的和與積代入直線方程后，利用直線系方程的知識可求出直線AB經過的定點．

解答：解：（Ⅰ）設曲線C上任意一點P（x，y），又F（1，0），N（-1，y），
從而

PN

=(-1-x，0)，

NF

=(2，-y)，
則

PN

+

1

2

NF

=(-1-x，0)+

1

2

(2，-y)=(-x，-

1

2

y)，
由(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0，得(-x，-

1

2

y)•(2，-y)=0，
即-2x+

1

2

y2=0．
化簡得y²=4x，即為所求的P點的軌跡C的對應的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
MA：y=k₁（x-1）+2，
MB：y=k₂（x-1）+2．
將y=k₁（x-1）+2與y²=4x聯立，得：k1y2-4y-4k1+8=0
由y1+2=

4

k1

，得y1=

4

k1

-2①
同理 y2=

4

k2

-2②
而AB直線方程為：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
即y=

4

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

③
由①②：y₁+y₂=

4

k1

-2+

4

k2

-2=

4(k1+k2)

k1k2

-4=

-4

k1k2

-4
y1y2=4(

4

k1k2

-

2(k1+k2)

k1k2

+1)=4(

6

k1k2

+1)
代入③得，y=

4

-4 k1k2 -4

x+

24 k1k2 +4

-4 k1k2 -4

，
整理得k₁k₂（x+y+1）+6+y=0．
則

x+y+1=0 y+6=0

⇒

x=5 y=-6

，故直線AB經過定點（5，-6）．

點評：本題考查了拋物線的方程，考查了直線與拋物線的綜合，訓練了一元二次方程的根與系數關系，考查了直線系方程，此題是有一定難度題目．