Question

【題目】如圖所示在四棱錐中，下底面為正方形，平面平面，為以為斜邊的等腰直角三角形，，若點是線段上的中點.

（1）證明平面.

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據為的中點，為的中點，有，再根據線面平行的判定理證明.

（2）取中點，由平面平面，得平面，即，，倆倆垂直，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，再利用面面角的向量法求解.

（1）連結，相交于點，連結，，

為的中點，為的中點，

所以，

又因為平面，平面，

所以平面.

（2）取中點，中點，連結，，，，因為平面平面，所以平面，

即，，兩兩垂直.

以，，為，，軸建立空間直角坐標系如圖所示：

，，，，

，，

設平面的法向量為，

則，即，

令z1=1，，

，，

設平面的法向量為，

則，即，

令z2=1，

所以.

二面角的平面角的余弦值為.