Question

【題目】若橢圓：（）與橢圓：（）的焦距相等，給出如下四個結論：

①和一定有交點；

②若，則；

③若，則；

④設與在第一象限內相交于點，若，則．

其中，所有正確結論的序號是______．

Answer 1

【答案】②④

【解析】

通過時的圖像可知和沒有交點，根據兩橢圓相同，結合，得到，根據分析法得到所需條件與矛盾，根據橢圓對稱性，結合得到兩橢圓之間離心率的關系，從而得到.

對于結論①，當時，橢圓的圖像完全在橢圓的內部，

此時和沒有交點，所以①錯誤；

對于結論②，因為兩橢圓的焦距相等，即相等，可得，

因為，所以得到

由可得，

所以得到，

所以得到，所以②正確；

對于結論③，由可得，

即，即，

從而得到，與條件中的矛盾，

所以③錯誤；

對于結論④，因為兩橢圓的相同，若兩橢圓的離心率相同，

則根據對稱性可知，兩橢圓在第一象限的交點，其橫縱坐標應相等，

而此時與在第一象限內相交于點，，

則橢圓更接近圓，或橢圓更扁，即，

所以，得到，

所以④正確.

故答案為：②④.