Question

（2012•寶山區一模）已知函數f（x）=log₂x，若2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4，…，（n∈N^*）成等差數列．
（1）求數列{a_n}（n∈N^*）的通項公式；
（2）設g（k）是不等式log₂x+log₂（3

ak

-x）≥2k+3（k∈N^*）整數解的個數，求g（k）；
（3）記數列{

12

an

}的前n項和為S_n，是否存在正數λ，對任意正整數n，k，使S_n-λ

ak

＜λ²恒成立？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設知f（a_n）=2n+2，所以log₂a_n=2n+2，由此能夠求出數列{a_n}（n∈N^*）的通項公式．
（2）由log₂x+log₂（3

ak

-x）≥2k+3（k∈N^*），知log2x+log2(3•2k+1-x)≥2k+3，所以x∈[2^k+1，2^k+2]，由此能求出g（k）．
（3）由題意，S_n=1-

1

4n

，

ak

=2^k+1．由Sn-λ

ak

＜λ2恒成立，S_n＞0，λ＞0，知當S_n取最大值，

ak

取最小值時，S_n-λ

ak

取到最大值．由此入手能夠求出λ的取值范圍．

解答：解：（1）∵2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4，…，（n∈N^*）成等差數列，
∴f（a_n）=2n+2，
∴log₂a_n=2n+2，…（2分）
∴an=22n+2．…（4分）
（2）∵log₂x+log₂（3

ak

-x）≥2k+3（k∈N^*），
∴log2x+log2(3•2k+1-x)≥2k+3，
∴log2[x(3•2k+1-x)]≥2k+3，
∴x²-3•2^k+1x+2•2^2k+2≤0，
∴（x-2^k+1）（x-2^k+2）≤0，
∴x∈[2^k+1，2^k+2]，…（8分）
其中整數個數g（k）=2^k+1+1．…（10分）
（3）由題意，Sn=12×

1 16 [1- 1 4n ]

1- 1 4

=1-

1

4n

，

ak

=2^k+1．…（12分）
又Sn-λ

ak

＜λ2恒成立，S_n＞0，λ＞0，
所以當S_n取最大值，

ak

取最小值時，S_n-λ

ak

取到最大值．…（14分）
又S_n＜1，

ak

≥4，所以1-4λ≤λ²，…（16分）
解得λ≥-2+

5

．…（18分）

點評：本題考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．