Question

（2012•寶山區一模）兩個圓錐有等長的母線，它們的側面展開圖恰好拼成一個圓，若它們的側面積之比為1：2，則它們的體積比是

1：

10

．

Answer 1

分析：設母線長為l，小圓錐半徑為r、高為h，大圓錐半徑為R，高為H，根據側面積之比可得R=2r．再由圓錐側面展開扇形圓心角的公式得到l=3r，利用勾股定理得到h、H關于r的式子，從而將兩個圓錐的體積都表示成r的式子，求出它們的比值．

解答：解：設圓錐母線長為l，側面積較小的圓錐半徑為r，側面積較大的圓錐半徑為R，它們的高分別為h、H，則
πrl：πRl=1：2，得R=2r
∵兩圓錐的側面展開圖恰好拼成一個圓，
∴

2π

3

=

r

l

×2π，得l=3r．再由勾股定理，得h=

l2-r2

=2

2

r
同理可得，H=

l2-R2

=

5

r
∴兩個圓錐的體積之比為（

1

3

π•r²•2

2

r）：（

1

3

π•4r²•

5

r）=1：

10

故答案為：1：

10

點評：本題給出母線相等的兩個圓錐側面積的比，并且側面展開圖恰好拼成一個圓，求它們的體積之比，著重考查了圓錐側面展開圖的認識和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．