Question

【題目】已知指數函數y=g（x）滿足：g（2）=4，定義域為R的函數f（x）=是奇函數．
（1）確定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵指數函數y=g（x）滿足：g（2）=4，
∴g（x）=2x；
（2）由（1）知：f（x）=是奇函數．
因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0，即，∴n=1；
∴f（x）=，又由f（1）=﹣f（﹣1）知
，∴m=2；
（3）由（2）知f（x）==-+，
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數．
又因f（x）是奇函數，從而不等式：
f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因f（x）為減函數，由上式推得：t2﹣2t＞k﹣2t2 ，
即對一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0，解得：k＜-．
【解析】（1）根據指數函數y=g（x）滿足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；
（2）由題意知f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1），解方程組即可求出m，n的值；
（3）由已知易知函數f（x）在定義域f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數．我們可將f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉化為一個關于實數t的不等式組，解不等式組，即可得到實數t的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．