Question

【題目】如圖（1），平面直角坐標系中，的方程為，的方程為，兩圓內切于點，動圓與外切，與內切.

（1）求動圓圓心的軌跡方程；

（2）如圖（2），過點作的兩條切線，若圓心在直線上的也同時與相切，則稱為的一個“反演圓”

（ⅰ）當時，求證：的半徑為定值；

（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，已知均與外切，與內切，且的圓心為，求證：若的“反演圓”相切，則也相切。

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）詳見解析（ⅱ）詳見解析

【解析】

（1）設的半徑為，根據題意得到，，根據橢圓定義，即可判斷出點軌跡，從而求出軌跡方程；

（2）（ⅰ）設，得到的半徑為，設，由題意得到，過點的的切線方程為，由點到直線距離公式，得到到切線的距離以及到切線的距離，再由，即可證明結論成立；

（ⅱ）由的圓心為，得到在軌跡上，此時的半徑為，其反演圓圓心為，半徑為，再由題意，得到與相切的反演圓的圓心為，或，半徑為；分別討論的圓心為，以及的圓心為兩種情況，即可證明結論成立.

（1）由題意，設的半徑為，

與內切，，

與外切，，

，

由橢圓的定義，點在橢圓上運動，

，，，

其軌跡方程為.

（2）（ⅰ）設，此時的半徑為，

設，

則為與的交點，其坐標為，

設過點的的切線方程為，

到切線的距離，

到切線的距離為：

，

，

，

當時，的半徑為定值.

（ⅱ）當的圓心為時，顯然在軌跡上，

此時的半徑為，其反演圓圓心為，半徑為，

由題意，與相切的反演圓的圓心為，或，半徑為；

1）當的圓心為時，易知與重合，

其方程為，

，故相切；

2）當的圓心為時，三點共線，

為直線與橢圓的交點，

的方程為：，故，

又，的半徑，

，故相切.