Question

關于函數f(x)=x+

1

x

的性質，有如下說法：
①函數f（x）的最小值為3；
②函數f（x）為偶函數；
③函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（1，+∞）．
其中所有正確說法的個數為（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：利用雙鉤函數f（x）=x+

1

x

的奇偶性、單調性與最值對①②③三個選項逐一判斷即可．

解答：解：∵f（x）=x+

1

x

，
∴f（1）=2，故①錯誤；
又f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴f（x）=x+

1

x

為奇函數，故②錯誤；
∵f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

，
令f′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，
∴函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（1，+∞），即③正確．
綜上所述，所有正確說法的個數為1個．
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查雙鉤函數f（x）=x+

1

x

的奇偶性、單調性與最值，屬于中檔題．