Question

【題目】己知函數

（1）當時，設函數，求函數的單調區間和極值；

（2）設是的導函數，若對任意的恒成立，求的取值范圍；

（3）設函數，當時，求在區間上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】（1）當,單調遞減; 單調遞增, 當，取得極小值;(2) ;(3) 的最大值,的最小值.

【解析】

(1)把代入可得，對求導可得其單調區間和極值；

（2）對求導可得在恒成立，設，對求導，可得有最小值，可得的取值范圍；

（3）對求導，可得當，單調遞增，當，單調遞減，可得可得的最大值，設，對求導，可得的最小值.

解：（1）當時，，可得，

令，可得，

當時，，單調遞減；

當，單調遞增；

可得當，取得極小值；

（2），，

即，在恒成立，

設，可得，

令，可得，

當，，函數單調遞減，

當，，函數單調遞增，

當有最小值，可得，

，；

（3）由，可得，

當，可得，

所以，單調遞增；

當時，，

所以，單調遞減；

可得在單調遞增，在單調遞減，

又，可得的最大值

設

其中，可得，

故在單調遞增，可得，即，

故可得的最小值.