Question

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），又數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+ a 2 n

，設(shè)b_n=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+…+

1

f(an)

．
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（2）求f（a_n）的表達式；
（3）是否存在正整數(shù)m，使得對任意n∈N，都有b_n＜

m-8

4

成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）用賦值法：先x=y=0推f（0）=0，再令x=0推f（-y）=-f（y），即可證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（2）先求出數(shù)列 {f（a_n）}的首項，再利用題中條件a_n+1=

2an

1+ a 2 n

以及f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）求出f（a_n）與f（a_n+1）之間的遞推關(guān)系，即可求 f（a_n）的表達式；
（3）先利用（2）的結(jié)論求出b_n的表達式，再代入b_n＜

m-8

4

利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可求出m的最小值．

解答：解：（1）證明：令x=y=0，則f（0）=0，再令x=0，得f（0）-f（y）=f（-y），
∴f（-y）=-f（y），y∈（-1，1），
∴f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．（3分）
（2）∵f(a1)=f(

1

2

)=-1，由(1)知f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(an+1)=f(

2an

1+ a 2 n

)=f(

an+an

1+an•an

)=f(an)+f(an)=2f(an)，
即

f(an+1)

f(an)

=2
∴{f（a_n）}是以-1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴f（a_n）=-2^n-1．（7分）
（3）∵bn=-(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

．
若bn＜

m-8

4

恒成立（n∈N₊），則-2+

1

2n-1

＜

m

4

-2，即m＞

4

2n-1

．
∵n∈N₊，∴當n=1時，

4

2n-1

有最大值4，故m＞4．
又∵m∈N，∴存在m=5，使得對任意n∈N₊，有bn＜

m-8

4

．（14分）

點評：本題是對數(shù)列與函數(shù)的綜合考查，涉及到函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的最值，和數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，是一道有難度的題．用賦值法來判斷函數(shù)的奇偶性在作抽象函數(shù)的奇偶性判斷時是很常用的．