Question

已知函數f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且當x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗證函數f(x)=ln

1-x

1+x

是否滿足這些條件；
（Ⅱ）判斷這樣的函數是否具有奇偶性和其單調性，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）先求定義域看其是否滿足條件，然后驗證函數是否滿足f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，最后求出當x＜0時的值域，看是否滿足即可；
（II）要判定函數f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）與f（x）的關系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定，最后根據函數單調性的定義進行判定單調性．

解答：解：（Ⅰ）由

1-x

1+x

＞0可得-1＜x＜1，即其定義域為（-1，1）
又f(x)+f(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln(

1-x

1+x

•

1-y

1+y

)=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=f(

x+y

1+xy

)
又當x＜0時，1-x＞1+x＞0，∴

1-x

1+x

＞1∴ln

1-x

1+x

＞0
故f(x)=ln

1-x

1+x

滿足這些條件．（3分）
（Ⅱ）∵f（0）+f（0）=f（0）?f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0?f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數．
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)
當-1＜x＜y＜1時，

x-y

1-xy

＜0，由條件知f(

x-y

1-xy

)＞0，
即f（x）-f（y）＞0∴f（x）在（-1，1）上是減函數．

點評：本題主要考查抽象函數的奇偶性與單調性性，屬于中檔題，函數的奇偶性是函數在定義域上的“整體”性質，單調性是函數的“局部”性質．