Question

已知函數f(x)=lg(x+

a

x

-2)，其中a是大于0的常數
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）當a∈（1，4）時，求函數f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數f（x）的定義域，就是）求x+

a

x

-2＞0，可以通過對a分類討論解決；
（2）可以構造函數g(x)=x+

a

x

-2，當a∈（1，4）時通過導數法研究g（x）在[2，+∞）上的單調性，再利用復合函數的性質可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+

a

x

-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立，轉化為a是x的函數，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）由x+

a

x

-2＞0得，

x2-2x+a

x

＞0
     解得a＞1時，定義域為（0，+∞）
     a=1時，定義域為{x|x＞0且x≠1}，
     0＜a＜1時，定義域為{x|0＜x＜1-

1-a

或x＞1+

1-a

}
（2）設g(x)=x+

a

x

-2，當a∈（1，4），x∈[2，+∞）時，
    g′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

＞0恒成立，
∴g(x)=x+

a

x

-2在[2，+∞）上是增函數，
∴f(x)=lg(x+

a

x

-2)在[2，+∞）上是增函數，
∴f(x)=lg(x+

a

x

-2)在[2，+∞）上的最小值為f(2)=lg

a

2

；
（3）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
   即x+

a

x

-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x²，而h(x)=3x-x2=-(x-

3

2

)2+

9

4

在x∈[2，+∞）上是減函數，
∴h（x）_max=h（2）=2，∴a＞2

點評：本題考查函數恒成立問題，（1）著重考查分類討論思想；（2）著重考查復合函數的函數單調性質求最值，方法為導數法；（3）著重考查分離參數法，是一道好題．