Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）已知點，曲線在點 處的切線與直線交于點，求（為坐標原點）的面積最小時的值，并求出面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增（2）時，的面積有最小值1.

【解析】試題分析：（1）先求導數，再求導函數零點，根據零點分區間討論導函數符號，即得函數的單調性；（2）先根據導數幾何意義得切線斜率，根據點斜式寫出切線方程，與聯立得點，再根據三角形面積公式得 ，利用導數研究函數單調性，即得最小值.

試題解析：解：（Ⅰ）依題意，.

令，故，令，解得，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

故，故，即，

故函數在上單調遞增.

（Ⅱ）依題意，切線的斜率為，

由此得切線的方程為，

令，得 ，

所以 ，.

設，.

則 ，

令，得或.

，的變化情況如下表：

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，即時，的面積有最小值1.