Question

【題目】如圖，已知為橢圓上的點，且，過點的動直線與圓相交于兩點，過點作直線的垂線與橢圓相交于點．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若，求．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據題意列方程組： ，解方程組可得， ，再根據離心率定義求橢圓的離心率；（2）先根據垂徑定理求圓心到直線的距離,再根據點到直線距離公式求直線AB的斜率,根據垂直關系可得直線PQ的斜率,最后聯立直線PQ與橢圓方程,利用韋達定理及弦長公式求．

試題解析：解：（1）依題知，

解得，所以橢圓的離心率；

（2）依題知圓的圓心為原點，半徑為，

所以原點到直線的距離為，

因為點坐標為，所以直線的斜率存在，設為．

所以直線的方程為，即，

所以，解得或．

①當時，此時直線的方程為，

所以的值為點縱坐標的兩倍，即；

②當時，直線的方程為，

將它代入橢圓的方程，消去并整理，得，

設點坐標為，所以，解得，

所以．