Question

【題目】已知圓柱底面半徑為1，高為，ABCD是圓柱的一個軸截面，動點M從點B出發沿著圓柱的側面到達點D，其距離最短時在側面留下的曲線如圖所示．將軸截面ABCD繞著軸逆時針旋轉后，邊與曲線相交于點P．

(Ⅰ)求曲線長度；

(Ⅱ)當時，求點到平面APB的距離；

(Ⅲ)證明：不存在，使得二面角的大小為．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 不存在

【解析】試題分析：(Ⅰ)在側面展開圖中根據幾何性質求解；(Ⅱ) 建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面ABP的一個法向量及向量 ，利用空間向量點到直線距離公式求解；(Ⅲ)假設存在滿足要求的，在空間坐標系中求出法向量，根據空間向量夾角余弦公式，列出關于的方程，看是否有解即可.

試題解析：(Ⅰ) 在側面展開圖中為BD的長，其中AB = AD = π，

∴的長為;

(Ⅱ)當時，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則有、、、，

、、

設平面ABP的法向量為，則，

取z = 2得，所以點C1到平面PAB的距離為；

注：本題也可以使用等積法求解．

(Ⅲ) 假設存在滿足要求的，

在（II）的坐標系中， ，

，

設平面ABP的法向量為，則

，

取x1 = 1得，

又平面ABD的法向量為，

由二面角的大小為，

則 ．

∵，∴時，均有，與上式矛盾．

所以不存在使得二面角的大小為．