Question

【題目】以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線 與橢圓 有相同的焦點；
②以拋物線的焦點弦（過焦點的直線截拋物線所得的線段）為直徑的圓與拋物線的準線是相切的；
③設A、B為兩個定點，k為常數，若|PA|﹣|PB|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
④過定圓C上一點A作圓的動弦AB，O為原點，若 則動點P的軌跡為橢圓．其中正確的個數是（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①雙曲線 的焦點坐標為（±5，0），

橢圓 的焦點坐標為（±5，0），

所以雙曲線 與橢圓 有相同的焦點，正確；

②不妨設拋物線為標準拋物線：y2=2px （p＞0 ），即拋物線位于Y軸的右側，以X軸為對稱軸．

設過焦點的弦為PQ，PQ的中點是M，M到準線的距離是d．

而P到準線的距離d1=|PF|，Q到準線的距離d2=|QF|．

又M到準線的距離d是梯形的中位線，故有d= ，

由拋物線的定義可得： = =半徑．

所以圓心M到準線的距離等于半徑，

所以圓與準線是相切，正確．

③平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數k（k＜|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線，

當0＜k＜|AB|時是雙曲線的一支，當k=|AB|時，表示射線，所以不正確；

④設定圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，點A（m，n），P（x，y），

由 則可知P為AB的中點，則B（2x﹣m，2y﹣n），

因為AB為圓的動弦，所以B在已知圓上，

把B的坐標代入圓x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的軌跡仍為圓，

當B與A重合時AB不是弦，所以點A除外，所以不正確．

所以答案是：B．