Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣（a2+1）x+alnx．
（Ⅰ）若函數f（x）在[ ， e]上單調遞減，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a時，求f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．（注意：ln2＜0.7）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∵f（x）在[，e]上單調遞減，∴f′（x）=ax﹣（a2+1）+≤0在[，e]上恒成立，
即ax+≤a2+1，
①當a≤0時，結論成立，
②當a＞0時，不等式等價為x+≤a+在[，e]上恒成立，
當x＞0時，h（x）=x+在（0，1）上是減函數，在[1，+∞）上是增函數，
∴要使函數h（x）＜h（a）在[，e]上恒成立，
則0＜x≤或x≥e，
綜上a≤或a≥e．
（Ⅱ）f′（x）=ax﹣（a2+1）+=
由f′（x）=0得x=a或，
①當0＜a≤時，即f′（x）≤0時，f（x）在[1，2]上遞減，
∴f（x）min=f（2）=2a﹣2（a2+1）+aln2，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），
②當＜a≤時，
當1≤x＜時，f′（x）＜0，當＜x≤2，f′（x）＞0，
∴f（x）min=f（）=﹣a﹣﹣alna，
f（2）﹣f（1）=a﹣（a2+1）+aln2，
設h（x）=x﹣（x2+1）+xln2，＜x≤，
h′（x）=﹣2x+ln2，
∵＜x≤，
∴h′（x）＞0，
則h（x）在＜x≤上單調遞增，
∴h（x）max=×﹣[（）2+1]+ln2=+ln2＜0，
∴f（2）＜f（1），∴f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），
綜上當0＜a≤時，f（x）min=2a﹣2（a2+1）+aln2，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），
當＜a≤時，f（x）min=﹣a﹣﹣alna，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1）．
【解析】（Ⅰ）若函數f（x）在[ ， e]上單調遞減，等價為f′（x）≤0在[ ， e]上恒成立，利用參數分離法進行求最值恒成立即可，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a時，求函數的導數f′（x），研究函數的單調性與最值之間的關系即可求f（x）在[1，2]上的最大值和最小值。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．