Question

（2008•靜安區一模）（理）設

a

=(cosα，(λ-1)sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，(λ＞0，0＜α＜β＜

π

2

)是平面上的兩個向量，若向量

a

+

b

與

a

-

b

相互垂直，
（1）求實數λ的值；
（2）若

a

•

b

=

4

5

，且tanα=

4

3

，求α的值（結果用反三角函數值表示）

Answer 1

分析：（1）由題意及平面向量的數量積運算法則進行化簡，由α的范圍，得到sinα不為0，再由λ大于0，根據化簡后的關系式即可求出λ的值；
（2）把第一問求出的λ的值代入

a

的坐標確定出此向量，然后利用平面向量的數量積運算法則化簡

a

•

b

=

4

5

，可得出cos（α-β）的值，由α與β的范圍得出α-β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sin（α-β）及tan（α-β）的值，再由α=（α-β）+β，利用兩角和與差的正切函數公式化簡后，將各自的值代入求出tanα的值，即可得出α的度數．

解答：解：（1）由題設，得(

a

+

b

)(

a

-

b

)=0，
即|

a

|2-|

b

|2=0，
所以，（λ-1）²sin²α-sin²α=0，
即λ（λ-2）sin²α=0
因為0＜α＜

π

2

，
∴sin²α≠0，又λ＞0，
所以λ-2=0，即λ=2；
（2）由（1）知，

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，
∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)，
又

a

•

b

=

4

5

，
∴cos(α-β)=

4

5

，
∵0＜α＜β＜

π

2

，則-

π

2

＜α-β＜0，
∴sin(α-β)=-

3

5

，tan(α-β)=-

3

4

，
∴tanα=tan[(α-β)+β]=

7

24

，
又0＜α＜

π

2

，
∴α=arctan

7

24

．

點評：此題考查了平面向量數量積的運算，利用數量積判斷兩向量的垂直關系，兩角和與差的余弦、正切函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，學生做題時特別注意角度的范圍及靈活變換．