Question

（2008•靜安區一模）（文）已知

a

=(cosα，3sinα)，

b

=(3cosβ，sinβ)，(0＜β＜α＜

π

2

)是平面上的兩個向量．
（1）試用α、β表示

a

•

b

；
（2）若

a

•

b

=

36

13

，且cosβ=

4

5

，求α的值（結果用反三角函數值表示）

Answer 1

分析：（1）應用向量的坐標運算公式即可用α、β表示

a

•

b

；
（2）由

a

•

b

=

36

13

cos(α-β)=

12

13

，且cosβ=

4

5

(0＜β＜α＜

π

2

)，又可求得sinβ=

3

5

，sin(α-β)=

5

13

，α=（α-β）+β，（解法一）用兩角和的余弦公式可求得cosα=

33

65

，α=arccos

33

65

（解法二）用兩角和的正弦公式可求得sinα=

56

65

，α=arcsin

56

65

即可．

解答：（文）解：（1）

a

•

b

=3cosαcosβ+3sinαsinβ=3cos(α-β)；
（2）∵

a

•

b

=

36

13

，∴cos(α-β)=

12

13

，
又cosβ=

4

5

，0＜β＜α＜

π

2

，∴sinβ=

3

5

，sin(α-β)=

5

13

，
（解法1）cosα=cos[(α-β)+β]=

33

65

，∴α=arccos

33

65

（解法2）sinα=sin[(α-β)+β]=

56

65

，∴α=arcsin

56

65

點評：本題考查三角函數間的基本關系，著重考查三角函數中的和與差的正余弦及湊角變換，屬于中檔題．