Question

設數列{a_n}滿足a1=0，4aa+1=4an+2

4an+1

+1，令bn=

4an+1

．
（1）試判斷數列{b_n}是否為等差數列？
（2）若cn=

1

an+1

，求{c_n}前n項的和S_n；
（3）是否存在m，n（m，n∈N^*，m≠n）使得1，a_m，a_n三個數依次成等比數列？若存在，求出m，n；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將條件化為4an+1+=4an+1+2

4an+1

+1，根據bn=

4an+1

，可得b_n+1²=b_n²+2b_n+1，即b_n+1=b_n+1，從而數列{b_n}為等差數列；
（2）由（1）可求數列{b_n}的通項，從而可得

4an+1

=n，由此可求數列{a_n}的通項，由于cn=

1

an+1

，利用裂項法可求{c_n}前n項的和S_n；
（3）設存在m，n滿足條件，則有1•a_n=a_m²，從而可化簡為4（n²-1）=（m²-1）²，所以m²-1必為偶數，設為2t，從而可有n-t）（n+t）=1，所以有

n+t=1 n-t=1

或

n+t=-1 n-t=-1

，即n=1，t=0，進而引出矛盾，問題得解．

解答：解：（1）由已知得an+1+

1

4

=an+

1

4

+

an+ 1 4

+

1

4

，
∴4an+1+=4an+1+2

4an+1

+1，
∵bn=

4an+1

所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1
∴b_n+1=b_n+1，
所以數列{b_n}為等差數列；
（2）由（1）得：b_n+1=b_n+1且b₁=1，∴b_n=n，
即

4an+1

=n，∴an=

n2-1

4

，
∴cn=

1

an+1

=

4

n(n+2)

=2(

1

n

-

1

n+2

)，
則Sn=c1+c2+… +cn=2(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)=2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=3-

2(2n+3)

(n+1)(n+2)

；
（3）設存在m，n滿足條件，則有1•a_n=a_m²
∴

n2-1

4

=(

m2-1

4

)2，
即4（n²-1）=（m²-1）²，
所以m²-1必為偶數，設為2t，
則n²-1=t²，∴n²-t²=1
∴（n-t）（n+t）=1，
∴有

n+t=1 n-t=1

或

n+t=-1 n-t=-1

，即n=1，t=0，
∴m²-1=2t=0，∴m=1與已知矛盾．
∴不存在m，n（m，n∈N^*，m≠n）使得1，a_m，a_n三個數依次成等比數列．

點評：本題以數列的遞推式為載體，考查等差數列的定義，考查裂項法求數列的和，同時考查了存在性問題，解題的關鍵是構造新數列，利用假設存在，轉化為封閉型問題．