Question

（2013•日照一模）若數列{b_n}：對于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數），則稱數列{b_n}是公差為d的準等差數列．如：若c_n=

4n-1，當n為奇數時 4n+9，當n為偶數時.

則{cn}是公差為8的準等差數列．
（I）設數列{a_n}滿足：a₁=a，對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求證：{a_n}為準等差數列，并求其通項公式：
（Ⅱ）設（I）中的數列{a_n}的前n項和為S_n，試研究：是否存在實數a，使得數列S_n有連續的兩項都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）：由已知a_n+a_n+1=2n（n∈N^*），a_n+1+a_n+2=2（n+1），即可得出a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．即可證明{a_n}為準等差數列．分n為奇偶數即可得出其通項公式．                   
（Ⅱ）分當n為偶數時，當n為奇數時，求出S_n．                              
當k為偶數時，令S_k=50，得k=10．再分別令S₉=50，S₁₁=50得出a即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+a_n+1=2n（n∈N^*）①
a_n+1+a_n+2=2（n+1）②
②-①得a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
所以，{a_n}為公差為2的準等差數列．                       
當n為偶數時，an=2-a+(

n

2

-1)×2=n-a，
當n為奇數時，an=a+(

n+1

2

-1)×2=n+a-1；
∴an=

n+a-1，(n為奇數) n-a，(n為偶數)

．
（Ⅱ）當n為偶數時，Sn=a•

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2+(2-a)•

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2=

1

2

n2；
當n為奇數時，Sn=a•

n+1

2

+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×2+(2-a)•

n-1

2

+

n-1 2 ( n-1 2 -1)

2

×2
=

1

2

n2+a-

1

2

．                              
當k為偶數時，Sk=

1

2

k2=50，得k=10．
由題意，有S9=

1

2

×92+a-

1

2

=50⇒a=10；
或S11=

1

2

×112+a-

1

2

=50⇒a=-10．
當a=10時，S₉，S₁₀兩項等于50；當a=-10時，S₁₀，S₁₁兩項等于50；
所以，a=±10．

點評：正確理解新定義和分類討論的思想方法等是解題的關鍵．