Question

【題目】已知數列{an}中，a1=3，a2=5，{an}的前n項和Sn ， 且滿足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3）．
（1）試求數列{an}的通項公式；
（2）令bn= ，Tn是數列{bn}的前n項和，證明：Tn＜ ；
（3）證明：對任意給定的m∈（0， ），均存在n0∈N+ ， 使得當n≥n0時，（2）中的Tn＞m恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3），得 ，

即 ，移項得 ，

∴ ， ，…， ，

這個n﹣2等式疊加可得：

an﹣a2=22+23+…+2n﹣1= =2n﹣4，

又a2=5，

∴ ，n≥3，經驗證a1=3，a2=5也適合該式，

∴ ，n∈N*

（2）證明：（2）由（1）知 = = （ ﹣ ），

∴bn= = （ ﹣ ），

∴數列{bn}的前n項和：

Tn= [（ ）+（ ）+…+（ ﹣ ）]

= （ ）= ＜ ．

∴Tn＜ ．

（3）證明：由（2）可知Tn= （ ）＜ ．

若Tn＞m，則得 ，化簡得 ，

∵m∈（0， ），∴1﹣6m＞0，

∴ ，

當 ，即0＜m＜ 時，取n0=1即可，

當 ，即0＜m＜ 時，取n0=1即可，

當 ，即 時，

則記 的整數部分為S，取n0=s+1即可，

綜上可知，對任意給定的m∈（0， ），均存在n0∈N+，使得當n≥n0時，（2）中的Tn＞m恒成立

【解析】（1）把數列遞推式變形得到Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1（n≥3），結合an=sn﹣sn﹣1得到an﹣an﹣1=2n﹣1（n≥2），由累加法得到數列的通項公式；（2）把數列{an}的通項公式代入bn= ，化簡后利用裂項相消法求數列{bn}的前n項和Tn ， 由此能證明Tn＜ ；（3）把要證的Tn＞m轉化為n＞ ．然后分 ＜1和 ≥1，求解出n0說明要證的結論成立．