Question

【題目】已知函數，函數，函數

（1）當函數在時為減函數，求a的范圍；

（2）若a=e(e為自然對數的底數）；

①求函數g(x)的單調區間；

②證明：

Answer 1

【答案】（1）.（2）①單調増區間為單調減區間為；②證明見解析.

【解析】

試題（1）題意轉化為在上恒成立；（2），①，則，現在要討論（或）的解，關鍵是函數，同樣我們用導數來研究，，當時，為減函數，當時，為增函數，所以對任意，，從而知當時，當，；②這一題比較特殊，要證不等式，即證，即證，考慮到在①中已證明的最小值為1，那么下面我們如果能求出的最大值不大于1（最多等于1），命題即證.這同樣利用導數知識可證明.

試題解析：（1）因為函數在時為減函數，所以.

.

因為,所以,即.

①當a=e時，

所以=

記，則，當

當所以>0.

所以在,在；

即g(x)的單調増區間為單調減區間為

②證明：由①得欲證，

只需證

即證.

記，則

當，，

當，．即

由①得.所以.