Question

如圖，五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面ABF是等邊三角形，棱EF∥BC，且EF=BC．
（I）證明：EO∥面ABF；
（Ⅱ）若EF=EO，證明：平面EFO⊥平面ABE．

Answer 1

【答案】分析：（I）通過證平行四邊形證線線平行，再由線線平行證明線面平行即可；
（II）先通過證線面垂直證線線垂直，再由線線垂直⇒線面垂直⇒面面垂直．
解答：證明：（I）證明：取AB的中點M，連接FM，OM，
∵O為矩形ABCD的對角線的交點，∴OM∥BC，且OM=BC，
又EF∥BC，且EF=BC，∴OM=EF，且EF∥OM，
∴四邊形EFMO為平行四邊形，∴EO∥FM，又FM?平面ABF，EO?平面ABF，
∴EO∥平面ABF．
（II）∵由（I）知四邊形EFMO為平行四邊形，∵EE=EO，
∴四邊形EFMO為菱形，連接EM，則FO⊥EM，
又∵三角形ABF為等邊三角形，且M為AB的中點，
∴FM⊥AB，MO⊥AB，∴AB⊥平面EFMO，∴AB⊥FO，
又AB∩EM=M，∴FO⊥平面ABE，FO?平面EFO，
∴平面ABE⊥平面EFO．
點評：本題考查線面平行的判定及面面垂直的判定．