Question

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=

1

2

EF=2

2

，AF=BE=2，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點．
（I）求證：PQ∥平面BCE；
（II）求證：AM⊥平面ADF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用矩形的性質、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）利用平行四邊形的判定定理和性質定理、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定和性質定理即可得出．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC．∵四邊形ABCD是矩形，Q為BD的中點．
∴Q為AC的中點．又在△AEC中，P為AE的中點，∴PQ∥EC．
∵EC?平面BCE，PQ?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）∵M是EF的中點，∴EM=AB=2

2

，
又∵EF∥AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∴AM∥BE，AM=BE=2，
又∵AF=2，MF=2

2

．
∴AM²+AF²=MF²，∴∠MAF=90°．
∴MA⊥AF．
∵DA⊥平面ABEF，∴DA⊥AM．
又∵AF∩AD=A，∴AM⊥平面ADF．

點評：熟練掌握矩形的性質、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定定理和性質定理、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定和性質定理是解題對的關鍵．