Question

如圖，五面體ABCD中，ABCD是以點H為中心的正方形，EF∥AB，EH丄平面ABCD，AB=2，EF=EH=1．
（1）證明：平面ADF丄平面ABCD；
（2）求五面體EF-ABCD的體積；
（3）設N為EC的中點，若在平面ABCD內存在一點M，使MN丄平面BCE，求MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD的中點G，連接BD、GH、GF，利用正方形的性質結合三角形中位線定理，可證出四邊形EFGH為平行四邊形，從而EH∥FG，結合EH⊥平面ABCD，得到FG⊥平面ABCD，最后根據面面垂直的判定定理，得到平面ADF丄平面ABCD；
（2）在平面ABCD內過點H作直線IJ∥AD，分別交AB、CD于I、J．由（1）的證明過程，可得三棱柱ADF-IJE是直三棱柱，從而得到它的體積為：S_△IJE×EF=IJ×EH×EF=1．又因為四棱錐E-IJCB的體積為：S_IJCB×EH=，相加即得五面體EF-ABCD的體積．
（3）以G為原點，AD所在直線為x軸，建立如圖坐標系，分別得出B、C、E、N各點的坐標，設M（x，y，0），若MN⊥平面BCE，則MN⊥EB且MN⊥EC，利用向量數量積為0，聯列方程組，解之得x=，y=1．從而得到向量的坐標，利用向量模的公式，可得MN的長．
解答：解：（1）由題意，得：EF∥AB，且EF=AB，
取AD的中點G，連接BD、GH、GF，
∵H是正方形ABCD的中心，
∴H是BD的中點，得到△ABD中，GH是中位線，
∴GH∥AB，GH=AB，
∴EF∥GH且EF=GH，可得四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EH∥FG，
又∵EH⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵FG?平面ADF，∴平面ADF丄平面ABCD；
（2）在平面ABCD內過點H作直線IJ∥AD，分別交AB、CD于I、J．
由（1）的證明過程，得EF∥AI∥DJ，且EF=AI=DJ=1
∵EF⊥平面ADF，∴三棱柱ADF-IJE是直三棱柱
∴V_{三棱柱ADF-IJE}=S_△IJE×EF=IJ×EH×EF=×2×1×1=1．
又∵V_{四棱錐E-IJCB}=S_IJCB×EH=×S_ABCD×EH=．
∴五面體EF-ABCD的體積為V=V_{三棱柱ADF-IJE}+V_{四棱錐E-IJCB}=1+=．
（3）以G為原點，AD所在直線為x軸，建立如圖坐標系，則
B（1，2，0），C（-1，2，0），E（0，1，1），N（-，，），
設M（x，y，0），可得，，
若MN⊥平面BCE，則，
解之得：x=，y=1．
∴向量，
因此==
點評：本題給出一個由直三棱柱和四棱錐拼接而成的五面體，通過證明面面垂直和求體積，著重考查了組合幾何體的體積公式，以及平面與平面垂直的判定等知識點，屬于中檔題．