Question

【題目】已知O為內一點，若分別滿足①；②；③；④(其中為中，角所對的邊).則O依次是的( )

A.內心、重心、垂心、外心B.外心、垂心、重心、內心

C.外心、內心、重心、垂心D.內心、垂心、外心、重心

Answer 1

【答案】B

【解析】

對①，易得點O到點的距離相等即可判斷.

對②，根據向量的數量積運算可求得， ，即可判斷.

對③，根據重心的性質與數量積的運算判斷即可.

對④，根據平面向量的線性運算可得，進而可知在三個角的角平分線上即可證明.

對于①，因為①，

所以點O到點的距離相等，

即點O為的外心;

對于②，因為，

所以，

所以，

即，同理，

即點O為的垂心;

對于③，因為，

所以，

設D為的中點，則，

即點O為的重心;

對于④，因為，

故，整理得.

又，

所以.因為分別為，方向的單位向量，故與的角平分線共線.同理與的角平分線共線，與的角平分線共線.故點O為的內心.

故選：B