Question

已知p：方程

x2

m-1

+

y2

m+3

=1表示橢圓，q：方程x²+y²-4x+2my+m+6=0表示圓，若p真q假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：由命題p為真命題，可得方程

x2

m-1

+

y2

m+3

=1中的兩個分母均為正數且不相等，由此解出m＞1；若命題q為假命題，則x²+y²-4x+2my+m+6=0不能表示圓，將方程化為圓的標準方程并建立關于m的不等式，解出-1≤m≤2．最后根據p真q假，對以上求出的兩個范圍求交集，可得實數m的取值范圍．

解答：解：若命題p為真命題，則方程

x2

m-1

+

y2

m+3

=1表示橢圓，
可得m+3＞m-1＞0，解之得m＞1；
若則命題q為假命題，方程x²+y²-4x+2my+m+6=0不能表示圓．
將方程x²+y²-4x+2my+m+6=0，化成標準方程得（x-2）²+（y+m）²=m²-m-2．
∴m²-m-2≤0，解之得-1≤m≤2．
又∵由題意得p真q假，
∴

m＞1 -1≤m≤2

，解得1＜m≤2，即實數m的取值范圍為（1，2]．

點評：本題給出關于橢圓方程與圓方程的兩個命題，在一真一假的情況下求參數m的范圍．著重考查了橢圓的標準方程、圓的標準方程與命題真假的判斷等知識，屬于中檔題．