Question

已知p：方程

x2

m

+

y2

2-m

=1表示橢圓；q：拋物線y=x²+2mx+1與x軸無公共點，若p是真命題且q是假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：由橢圓的標準方程，及橢圓的簡單性質，我們可以求出p是真命題時，參數m的取值范圍，由二次函數的性質，我們可以求出q是假命題時，參數m的取值范圍，進而得到滿足題意的實數m的取值范圍．

解答：解：∵“方程

x2

m

+

y2

2-m

=1表示橢圓”是真命題，
∴

m＞0 2-m＞0 m≠2-m

…（3分）∴0＜m＜2且m≠1，…（4分）
∵“拋物線y=x²+2mx+1與x軸無公共點”是假命題，
∴拋物線y=x²+2mx+1與x軸有公共點，…（6分）
∴△=4m²-4≥0∴m≥1或m≤-1，…（8分）
由題意得，

0＜m＜2且m≠1 m≥1或m≤-1

…（10分）
∴1＜m＜2．…（12分）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，橢圓的標準方程，二次函數的圖象與性質，其中根據橢圓的標準方程，二次函數的圖象與性質，分別求出p是真命題且q是假命題時參數m的取值范圍，是解答本題的關鍵．