Question

設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

(2)令，以其圖像上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)?img width=56 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/169/383769.gif" >………(1分)

        當(dāng)時(shí)，

        ……（2分）

        令解得. 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

        當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；…………………（3分）

        所以的極大值為此即為最大值.………………（4分）

 （Ⅱ） 所以,在上恒成立，…（6分）

       所以………………………………（7分）

       當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以……………（9分）

（Ⅲ）因?yàn)榉匠?img width=83 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/191/383791.gif" >有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)則 令,得  因?yàn)?img width=81 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/197/383797.gif" >所以（舍去），…………（10分）

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，取最小值…………（11分）

因?yàn)?img width=59 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/9/383809.gif" >有唯一解，所以.則即

 所以

 因?yàn)?img width=44 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/15/383815.gif" >所以   （*）…（12分）

 設(shè)函數(shù)

 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解.……（13分）

因?yàn)?img width=57 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/22/383822.gif" >所以方程（*）的解為，即解得………（14分）