Question

已知直線l：y=ax+1-a（a∈R），若存在實數a使得一條曲線與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段的長度恰好等于|a|，則稱此曲線為直線l的“絕對曲線”．下面給出的三條曲線方程：
①y=-2|x-1|；
②（x-1）²+（y-1）²=1；
③x²+3y²=4．
其中直線l的“絕對曲線”有

 

．（填寫全部正確選項的序號）

Answer 1

分析：題目給出的是新定義題，給出的直線過定點（1，1），對于曲線y=-2|x-1|，通過分析其圖象可知，直線l與該曲線不可能相交于兩點，不符合新定義；對于曲線②（x-1）²+（y-1）²=1，直線l過該圓的圓心，所以a=±2時滿足新定義；對于
曲線x²+3y²=4，假設該曲線是直線l的“絕對曲線”，把直線和其聯立后看滿足弦長等于a的值是否存在，由弦長公式得到關于a的方程，方程是高次方程，可以不求解，看方程對應函數的零點是否存在即可，利用根的存在性定理加以判斷．

解答：解：由y=ax+1-a=a（x-1）+1，可知直線l過點A（1，1）．
對于①，y=-2|x-1|=

-2x+2，x≥1 2x-2，x＜1

，圖象是頂點為（1，0）的倒V型，而直線l過頂點A（1，1）．
所以直線l不會與曲線y=-2|x-1|有兩個交點，不是直線l的“絕對曲線”；
對于②，（x-1）²+（y-1）²=1是以A為圓心，半徑為1的圓，
所以直線l與圓總有兩個交點，且距離為直徑2，所以存在a=±2，使得圓（x-1）²+（y-1）²=1與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段的長度恰好等于|a|．
所以圓（x-1）²+（y-1）²=1是直線l的“絕對曲線”；
對于③，將y=ax+1-a代入x²+3y²=4，
得（3a²+1）x²+6a（1-a）x+3（1-a）²-4=0．
x1+x2=

6a(1-a)

3a2+1

，x1x2=

3(1-a)2-4

3a2+1

．
若直線l被橢圓截得的線段長度是|a|，
則a2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+(ax1+1-a-ax2-1+a)2
=(a2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(a2+1)[

36a2(1-a)2

(3a2+1)2

-4

3(1-a)2-4

3a2+1

]．
化簡得

a2

a2+1

=(

6a+2

3a2+1

)2．
令f（a）=

a2

a2+1

-(

6a+2

3a2+1

)2．
f（1）=

1

2

-22=-

7

2

＜0，f（3）=

9

10

-(

5

7

)2=

191

490

＞0．
所以函數f（a）在（1，3）上存在零點，即方程

a2

a2+1

=(

6a+2

3a2+1

)2有根．
而直線過橢圓上的定點（1，1），當a∈（1，3）時滿足直線與橢圓相交．
故曲線x²+3y²=4是直線的“絕對曲線”．
故答案為②③．

點評：本題考查了兩點間的距離公式，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法及運算能力，特別是對③的判斷，能夠考查學生靈活處理問題的能力，是有一定難度題目．