Question

已知直線l：y=ax+1與雙曲線C：3x²-y²=1相交于A、B兩點．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）當實數a取何值時，以線段AB為直徑的圓經過坐標原點．

Answer 1

分析：（1）把直線與雙曲線方程聯立消去y，利用二次項非0，且判別式大于0求得a的范圍．
（2）把直線l的方程與雙曲線的方程聯立消去y，根據判別式大于0求得a的范圍，根據OA⊥OB，推斷出y₁y₂=-x₁x₂．根據韋達定理表示出x₁x₂．進而根據直線方程表示出y₁y₂，代入y₁y₂=-x₁x₂．求得a．

解答：解（1）聯立方程組

3x2-y2=1 y=ax+1

，得(3-a2)x2-2ax-2=0．  …（2分）
∵直線l與曲線C有兩個交點A、B，
∴

3-a2≠0 △=4a2-4(3-a2)(-2)＞0

，即

a2≠3 a2＜6

．            …（4分）
∴實數a的取值范圍是-

6

＜a＜

6

且a≠±

3

．      …（5分）
（2）設點A、B的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．            …（6分）
由（1）可知，

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2= -2 3-a2

．
∵以線段AB為直徑的圓經過原點，
∴

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．                         …（8分）
又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
即(a2+1)•

-2

3-a2

+a•

2a

3-a2

+1=0，解得a=±1（都滿足（1）求出的條件）    …（11分）
∴a=±1時，以線段AB為直徑的圓經過坐標原點．    …（12分）

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，直線與雙曲線的位置關系．考查了學生綜合分析問題和推理的能力，基本的運算能力．