Question

已知直線l：y=ax+1-a（a∈R）．若存在實數a使得一條曲線與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于|a|，則稱此曲線為直線l的“絕對曲線”．下面給出四條曲線方程：①y=-2|x-1|；②y=x²；③（x-1）²+（y-1）²=1；④x²+3y²=4；則其中直線l的“絕對曲線”有（　　）

A．①④

B．②③

C．②④

D．②③④

Answer 1

分析：若存在實數a使得一條曲線與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于|a|，則稱此曲線為直線l的“絕對曲線”，分別進行判定是否垂直a即可．

解答：解：①由直線y=ax+1-a，可知此直線過點A（1，1），y=-2|x-1|=

-2x+2，x≥1 2x-2，x＜1

，
如圖所示，直線l與函數y=-2|x-1|的圖象只能由一個交點，故不是“絕對函數”；
②y=x²與l：y=ax+1-a聯立

y=x2 y=ax+1-a

解得

x=1 y=1

或

x=a-1 y=(a-1)2

，
此兩個交點的距離

(a-2)2+(a2-2a)2

=|a|，化為（a-2）²（1+a²）-a²=0，
令f（a）=（a-2）²（1+a²）-a²，則f（1）=2-1=1＞0，f（2）=0-4＜0，因此函數f（a）在區間（1，2）內存在零點，即方程（a-2）²（1+a²）-a²=0，有解．
故此函數是“絕對函數”；
③（x-1）²+（y-1）²=1是以（1，1）為圓心，1為半徑的圓，此時直線l總會與此圓由兩個交點，且兩個交點的距離是圓的直徑2，∴存在a=±2滿足條件，故此函數是“絕對函數”；
④把直線y=ax+1-a代入x²+3y²=4得（3a²+1）x²+6a（1-a）x+3（1-a）²-4=0，
∴x1+x2=

-6a(1-a)

3a2+1

，x1x2=

3(1-a)2-4

3a2+1

．
若直線l被橢圓截得的弦長是|a|，則a2=(1+a2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+a2)[

36a2(1-a)2

(3a2+1)2

-4×

3(1-a)2-4

3a2+1

]，
化為

a2

a2+1

-(

6a+2

3a2+1

)2=0，
令f（a）=

a2

a2+1

-(

6a+2

3a2+1

)2，而f（1）=

1

2

-22＜0，f（3）=

9

10

-

25

49

＞0．
∴函數f（a）在區間（1，3）內有零點，即方程f（a）=0有實數根，而直線l過橢圓上的定點（1，1），當a∈（1，3）時，直線滿足條件，即此函數是“絕對函數”．
綜上可知：能滿足題意的曲線有②③④．
故選D．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系的運用，屬于難題．