【題目】如圖，
的三條內線段
、
、
交于點
、用紅、藍兩種顏色對的三條邊線和三條內線段染色，使同色的三線不交于一點.證明：在圖中所有的三角形中，至少存在兩個同色三角形，且它的各邊或延長線被另一線截得的兩線段之比的和大于3.
【答案】見解析
【解析】
根據抽屜原理，在三條邊線和二條線這6條線中，至少有3條是同色的，設共為紅色.則紅線的條數為5，4或3.
（1）若有5條紅線，則必有3條紅線交于一點，不合題意.
（2）若有4條紅線，可分兩類：
（i）如果3條是邊線.1條是內線或1條邊線、3條內線時，則都存在3條紅線交于一點，不合題意.
（ii）如果邊線和內線各有兩條時，不妨沒邊線為
、
，則內線只能是
、
.這時
、
都是紅色三角形，它們分別被直線
、
所截.
若被直線所截.由梅氏定理.有
.
由均值不等式，得
.
因為
下成立，所以上式等號不能成立.
故
.
（3）若有3條紅線，可分三類：
（i）如果3條都為邊線或都為內線時，顯然都不符合題意.
（ii）如果兩條為邊線，1條為內線時，設邊線為、，則內線必為或
.不妨設為.此時
為紅色三角形，
為藍色三角形，結論成立.
（iii）如果1條為邊線，兩條為內線時，相當于兩條邊線為藍線.1條內線為藍線，由（ii）知，結論成立.
綜合（1）、（2）、（3）知，命題成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，等邊三角形
的中線
與中位線
相交于
，已知
是
繞
旋轉過程中的一個圖形，下列命題中，錯誤的是
A. 恒有
⊥
B. 異面直線
與
不可能垂直
C. 恒有平面
⊥平面
D. 動點
在平面
上的射影在線段
上
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知一個正多邊形的每條邊和對角線恰各染成2018種顏色之一，且所有邊及對角線不全同色.若正多邊形中不存在兩色三角形（即三角形的三邊恰被染成兩種顏色），則稱該多邊形的染色是“和諧的”.求最大的正整數
，使得存在一個和諧的染色正邊形.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱錐
的底面
與圓錐
的底面
都在平面
上，且過點
，又的直徑
，垂足為
.設三棱錐的所有棱長都是1，圓錐的底面直徑與母線長也都是1，圓錐的底面直徑與母線長也都是1.求圓錐的頂點
到三棱錐的三個側面的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行頑強的斗爭，到1996年底全縣的綠化率已達到30%（成為綠洲）．從1997年開始，每年將出現這樣的局面，原有沙漠面積的16%被栽上樹，改造為綠洲，而同時，原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變為沙漠．
（1）設全縣面積為1,1996年底綠洲面積為
，經過
年綠洲面積為
．求證：
．
（2）至少需經過多少年的努力才能使全縣的綠化率超過60%（年取整數）？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f(x)的定義域D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x+1)＋f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數，求x的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年寒假是特殊的寒假，因為疫情全體學生只能在家進行網上在線學習，為了研究學生在網上學習的情況，某學校在網上隨機抽取120名學生對線上教育進行調查，其中男生與女生的人數之比為11∶13，其中男生30人對于線上教育滿意，女生中有15名表示對線上教育不滿意.
（1）完成
列聯表，并回答能否有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”；
滿意 | 不滿意 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 | 120 |
（2）從被調查中對線上教育滿意的學生中，利用分層抽樣抽取8名學生，再在8名學生中抽取3名學生，作線上學習的經驗介紹，其中抽取男生的個數為
，求出的分布列及期望值.
參考公式：附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
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