Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若在處取極值，求在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，若有唯一的零點，求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：

本題考查導數的幾何意義及導數在研究函數單調性、極值中的應用。（Ⅰ）根據函數在處取極值可得，然后根據導數的幾何意義求得切線方程即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，令，可得在上單調遞減，在上單調遞增。結合函數的單調性和函數值可得在上有唯一零點，設為，證明即可得結論。

試題解析：

（Ⅰ）∵，

，

∵在處取極值，

∴，解得.

,

,

又.

∴在點處的切線方程為,

即

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

令，

則

由，可得

在上單調遞減，在上單調遞增。

又，故當時， ；

又，故在上有唯一零點，設為，

從而可知在上單調遞減，在上單調遞增，

因為有唯一零點，

故且