Question

【題目】已知數列，記集合.

（1）對于數列，寫出集合；

（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說明理由.

（3）若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數列為，若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在，使得成立.(3)詳見解析

【解析】

（1）根據集合的定義，即可求解；

（2）假設存在，使得，得到，根據與奇偶性相同，所以與奇偶性不同，進而得到結論.

（3）若，使得，得到不成立，結合數學歸納法，把數列，轉化為數列，其相應集合中滿足有多少項，即可得到結論.

（1）由題意，集合，

可得.

（2）假設存在，使得，

則有，

由于與奇偶性相同，所以與奇偶性不同.

又因為，，所以1024必有大于等于3的奇數因子，

這與1024無1以外的奇數因子矛盾.

故不存在，使得成立.

（3）首先證明時，對任意的都有，.

若，使得：，

由于與均大于2且奇偶性不同，所有不成立.

其次證明除形式以外的數，都可以寫成若干個連續正整數之和.

若正整數，其中，.

當時，由等差數列的性質有：

此時結論成立.

當時，由等差數列的性質有：

，

此時結論成立.

對于數列，此問題等價于數列，其相應集合中滿足：有多少項.

由前面的證明可知正整數2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合中的項，

所以的最大值為1001.