Question

【題目】已知函數f（x）＝alnx﹣ex（a∈R）．其中e是自然對數的底數．

（1）討論函數f（x）的單調性并求極值；

（2）令函數g（x）＝f（x）+ex，若x∈[1，+∞）時，g（x）≥0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．求出函數的導函數，然后對a分類討論可得原函數的單調性并求得極值；

（2）對g（x）求導函數，對a分類討論，當a≥0時，易得g（x）為單調遞增，有g（x）≥g（1）＝0，符合題意．當a＜0時，結合零點存在定理可得存在x0∈（1，）使g′（x0）＝0，再結合g（1）＝0，可得當x∈（1，x0）時，g（x）＜0，不符合題意．由此可得實數a的取值范圍．

（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．

f′（x）．

①當a≤0時，f′（x）＜0，可得函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，f（x）無極值；

②當a＞0時，由f′（x）＞0得：0＜x，可得函數f（x）在（0，）上單調遞增．

由f′（x）＜0，得：x，可得函數f（x）在（，+∞）單調遞減，

∴函數f（x）在x時取極大值為：f（）＝alna﹣2a；

（2）由題意有g（x）＝alnx﹣ex+ex，x∈[1，+∞）．

g′（x）．

①當a≥0時，g′（x）．

故當x∈[1，+∞）時，g（x）＝alnx﹣ex+ex為單調遞增函數；

g（x）≥g（1）＝0，符合題意．

②當a＜0時，g′（x），令函數h（x），

由h′（x）0，c∈[1，+∞），

可知：g′（x）為單調遞增函數，

又g′（1）＝a＜0，g′（x），

當x時，g′（x）＞0．

∴存在x0∈（1，）使g′（x0）＝0，

因此函數g（x）在（1，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，

又g（1）＝0，∴當x∈（1，x0）時，g（x）＜0，不符合題意．

綜上，所求實數a的取值范圍為[0，+∞）．