Question

函數f（x）=alnx+x，對任意的x∈[

1

e

，e]時，f（x）≥0恒成立，則a的范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：x＞0，f′(x)=

a

x

+1=

a+x

x

，要使f（x）≥0恒成立，則只需當x∈[

1

e

，e]時，求函數f（x）的最小值，讓最小值滿足大于0即可．

解答： 解：∵f（x）=alnx+x，
∴x＞0，f′(x)=

a

x

+1=

a+x

x

，
要使f（x）≥0恒成立，則只需當x∈[

1

e

，e]時，
求函數f（x）的最小值，讓最小值滿足大于0，即可．
若a≥0，f'（x）＞0，此時函數在[

1

e

，e]單調遞增，
最小值為f（

1

e

）=aln

1

e

+

1

e

=

1

e

-a，此時由

1

e

-a≥0，
解得0≤a≤

1

e

．
若a＜0，由f'（x）=0，得x=-a，函數f（x）在x=-a處取得極小值．
若-a＜

1

e

，在函數在[

1

e

，e]單調遞增，
∴最小值為f（

1

e

）=aln

1

e

+

1

e

=

1

e

-a，此時

1

e

-a≥0恒成立，
此時-

1

e

＜a＜0．
若

1

e

＜-a＜e，此時函數在x=-a處取得最小值，
此時f（-a）=aln（-a）-a≥0，解得-e≤a．
若-a≥e，此時函數在[

1

e

，e]單調遞遞減，
此時最小值為f（e）=alne+e≥0，解得a≥-e．
綜上：a的范圍為[-e，

1

e

]．
故答案為：[-e，  

1

e

]．

點評：本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的靈活運用，合理運用分類討論思想進行解題．