Question

已知函數f(x)＝ax³＋x²－a²x(a＞0),存在實數x₁、x₂滿足下列條件:①x₁＜x₂;②f??(x₁)＝f??(x₂)＝0;③|x₁|＋|x₂|＝2.

證明:0＜a??3；

求b的取值范圍;

若函數h(x)＝f??(x)－6a(x－x₁),證明:當x₁＜x＜2時,|h(x)|??12a.

Answer 1

（1）證明見解析。

       （2）0??b??12

       （3）證明見解析。

解析:

(Ⅰ)f??(x)＝3ax²＋2x－a², ∴x₁＋x₂＝－,x₁x₂＝－,由a＞0,得x₁＜0＜x₂,

∵|x₁|＋|x₂|＝2,∴x₂－x₁＝2.

故－x₁和x₂是方程t²－2t＋＝0的兩個實根, ∴方程有解, ∴D＝4－??0,得0＜a??3.  4分

(Ⅱ)由(x₁＋x₂)²－4x₁x₂＝4得＋＝4, ∴b＝－3a³＋9a², ∴b??＝－9a²＋18a,由b??＝0得a＝0或a＝2.又0＜a??3, ∴當a變化時,b??,b的變化情況如下表:

a	0	(0,2)	2	(2,3)	3
b??		＋	0	－
b	0	??	極大值12	??	0

∴0??b??12                                              4分

(Ⅳ)∵x₁＜x＜2, ∴x－x₁＞0,x－x₂－2＜0,

又h(x)＝3a(x－x₁)(x－x₂)－6a(x－x₁)＝3a(x－x₁)[(x－x₂)－2],

∴|h(x)|＝|3a(x－x₁)[(x－x₂)－2]|＝

3a|x－x₁||x－x₂－2|??3a·()²

＝3a·()²

又x₂－x₁＝2,∴|h(x)|??12a                             4分