Question

（2012•西城區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求出 f'（0），即取消在原點(diǎn)處的切線斜率，可求得曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程
（Ⅱ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（III）由（Ⅱ）中函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可求出函數(shù)的最值取得的條件，然后可求a的范圍

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

2x

x2+1

，f′(x)=-2

(x+1)(x-1)

(x2+1)2

．    …（2分）
由 f'（0）=2，得曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程是2x-y=0．…（3分）
（Ⅱ）解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′(x)=

-2(x+a)(ax-1)

(1+x2)2

                          …（4分）
①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

2x

x2+1

．
所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減．          …（5分）
當(dāng)a≠0，f′(x)=-2a

(x+a)(x- 1 a )

x2+1

．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=-a，x2=

1

a

，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-a），(

1

a

，+∞)；單調(diào)增區(qū)間是(-a，

1

a

)．  …（7分）
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，

1

a

)；單調(diào)減區(qū)間是(-

1

a

，-a)，（-a，+∞）．…（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，a=0時(shí)不合題意．                       …（10分）
當(dāng)a＞0時(shí)，由（Ⅱ）得，f（x）在(0，

1

a

)單調(diào)遞增，在(

1

a

，+∞)單調(diào)遞減，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值f(

1

a

)=a2＞0．
設(shè)x₀為f（x）的零點(diǎn)，易知x0=

1-a2

2a

，且x0＜

1

a

．從而x＞x₀時(shí)，f（x）＞0；x＜x₀時(shí)，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0時(shí)，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（0，1]．…（12分）
當(dāng)a＜0時(shí)，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）單調(diào)遞減，在（-a，+∞）單調(diào)遞增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0時(shí)，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（-∞，-1]．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1]∪（0，1]．                    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔試題