Question

（2012•西城區二模）甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是

3

5

，乙能答對其中的5道題．規定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，答對一題加10分，答錯一題（不答視為答錯）減5分，至少得15分才能入選．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和數學期望；
（Ⅱ）求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定乙答題所得分數的可能取值，求出相應的概率，即可得到乙得分的分布列和數學期望；
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答對2題才能入選，求出甲、乙入選的概率，利用對立事件，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設乙答題所得分數為X，則X的可能取值為-15，0，15，30．
P(X=-15)=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

；    P(X=0)=

C 2 5 C 1 5

C 3 10

=

5

12

；P(X=15)=

C 1 5 C 2 5

C 3 10

=

5

12

；    P(X=30)=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

．    …（4分）
乙得分的分布列如下：

X	-15	0	15	30
P	1 12	5 12	5 12	1 12

EX=

1

12

×(-15)+

5

12

×0+

5

12

×15+

1

12

×30=

15

2

．         …（6分）
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答對2題才能入選，記甲入選為事件A，乙入選為事件B．
則 P(A)=

C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

)+(

3

5

)3=

81

125

，…（8分）
P(B)=

5

12

+

1

12

=

1

2

．                              …（10分）
故甲乙兩人至少有一人入選的概率P=1-P(

.

A

•

.

B

)=1-

44

125

×

1

2

=

103

125

． …（12分）

點評：本題考查概率的計算，考查互斥事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列與期望，確定變量的取值，計算其概率是關鍵．