Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知Sn=

n2+3n

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=

an，n為奇數(shù) 2n，n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=s₁，n≥2時，a_n=s_n-s_n-1可求
（2）結(jié)合數(shù)列的通項公式的特點，考慮對n分為偶數(shù)，兩種情況，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可求解

解答：解：（1）當n=1時，a₁=s₁=2
n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1
當n=1時，a₁=2適合上式
故a_n=n+1
（2）當n為偶數(shù)時，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）
=（2+4+…+n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）
=

(2+n)• n 2

2

+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

n(n+2)

4

+

4(2n-1)

3

當n為奇數(shù)時，n-1為偶數(shù)
T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）
=（2+4+…+n+1）+（2²+2⁴+…+2^n-1）
=

(3+n)• n+1 2

2

+

4(1-4 n-1 2 )

1-4

=

n2+4n+3

4

+

4(2n-1-1)

3

∴Tn=

n(n+2) 4 + 4(2n-1) 3 ，n為偶數(shù) (n+1)(n+3) 4 + 4(2n-1-1) 3 ，n為奇數(shù)

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式及分組求和方法的應(yīng)用．