Question

【題目】設 ，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）如果存在x1 ， x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；
（3）如果對任意的 ，都有f（s）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時， ， ，f（1）=2，f'（1）=﹣1，所以曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=﹣x+3
（2）解：存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立

等價于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，

考察g（x）=x3﹣x2﹣3， ，

由上表可知： ，

，

所以滿足條件的最大整數M=4

（3）解：當 時， 恒成立

等價于a≥x﹣x2lnx恒成立，

記h（x）=x﹣x2lnx，h'（x）=1﹣2xlnx﹣x，h'（1）=0．

記m（x）=1﹣2xlnx﹣x，m'（x）=﹣3﹣2lnx，

由于 ，m'（x）=﹣3﹣2lnx＜0，

所以m（x）=h'（x）=1﹣2xlnx﹣x在 上遞減，

當 時，h'（x）＞0，x∈（1，2]時，h'（x）＜0，

即函數h（x）=x﹣x2lnx在區間 上遞增，在區間（1，2]上遞減，

所以h（x）max=h（1）=1，所以a≥1

【解析】（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，最后用直線的斜截式表示即可；（2）存在x1 ， x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等價于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，先求導數，研究函數的極值點，通過比較與端點的大小從而確定出最大值和最小值，從而求出[g（x1）﹣g（x2）]max ， 求出M的范圍；（3）當 時， 恒成立等價于a≥x﹣x2lnx恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，利用導數研究h（x）的最大值即可求出參數a的范圍．
【考點精析】掌握函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．