Question

設分別是橢圓的左右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為．
（1）若直線的斜率為，求的離心率；
（2）若直線在軸上的截距為，且，求．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）由已知得，故直線的斜率為，結合得關于的方程，解方程得離心率的值；（2）依題意，直線和軸的交點是線段的中點．故，①
又因為，得，從而得三個點坐標的關系，將點的坐標表示出來代入橢圓方程的，得另一個關于的方程并聯立方程①求即可．
（1）根據及題設知，．將代入，解得，
（舍去）．故的離心率為．
（2）由題意，原點為的中點，軸，所以直線與軸的交點是線段的中點．故，即．①由得．設，由題意得，，則即代入C的方程，得，②將①及代入②得
．解得，，故．