Question

【題目】如圖，已知橢圓： 的離心率為， 為橢圓的右焦點， ， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設為原點， 為橢圓上一點， 的中點為，直線與直線交于點，過作，交直線于點，求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（1）由題中條件要得兩個等式，再由橢圓中的等式關系可得的值，求得橢圓的方程；

（2）可設直線的方程，聯立橢圓方程，由根與系數的關系得，所以直線的方程是 ．令，得, 得直線的斜率是 ,問題得解.

試題解析：

（Ⅰ）設橢圓的半焦距為．依題意，得， ．

解得 ， ．所以 ，所以橢圓的方程是 ．

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 ．設的中點， ．

設直線的方程為： ，將其代入橢圓方程，整理得

，所以 ．所以 ， ，

即 ．所以直線的斜率是 ，

所以直線的方程是 ．令，得．

由，得直線的斜率是 ，

因為，所以直線的斜率為，所以直線．

解法二：由（Ⅰ）得 ．設，其中．

因為的中點為，所以 ．所以直線的斜率是 ，所以直線的方程是 ．令，得．

由，得直線的斜率是 ．因為直線的斜率是 ，所以 ，所以 ．因為 ，所以 ．

點晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系. 直線和圓錐曲線的位置關系一方面要體現方程思想，另一方面要結合已知條件，從圖形角度求解．聯立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數的關系求解是一個常用的方法. 涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數關系、設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．