Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x+b（a＜0，a，b∈R），設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=0的兩實(shí)根為x₁，x₂，方程
f（x）=x的兩實(shí)根為α，β．
（Ⅰ）若|α-β|=1，求a與b的關(guān)系式；
（Ⅱ）若a，b均為負(fù)整數(shù)，且|α-β|=1，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若α＜1＜β＜2，求證：（x₁+1）（x₂+1）＜7．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由題意可得ax²+3x+b=0有兩個(gè)不等實(shí)根為α，β，可得△=9-4ab＞0，α+β=-

3

a

，αβ=

b

a

．
由|α-β|=1化簡可得a與b的關(guān)系式．
（II）由（1）得a²+4ab=9，根據(jù)a，b均為負(fù)整數(shù)，求得a、b的值，可得所求函數(shù)解析式．
（III）由韋達(dá)定理以及α＜1＜β＜2，可得α+β=-

3

a

＜0，αβ=

b

a

＜2，故有-

1

a

＜1，由此化簡：（x₁+1）（x₂+1）為

b

a

-

4

a

+1，由此求得（x₁+1）（x₂+1）的范圍．

解答： 解：（I）由題意可得ax²+3x+b=0（a＜0，a，b∈R）有兩個(gè)不等實(shí)根為α，β，
∴△=9-4ab＞0，α+β=-

3

a

，αβ=

b

a

．
由|α-β|=1得（α-β）²=1，即(α+β)2-4αβ=

9

a2

-

4b

a

=1，
∴9-4ab=a²，即a²+4ab=9（a＜0，a，b∈R）．
（II）由（1）得a²+4ab=9，∵a，b均為負(fù)整數(shù)，∴

a=-1 a+4b=-9

，或

a=-9 a+4b=-1

，或

a=-3 a+4b=-3

，
顯然后兩種情況不合題意，應(yīng)舍去，從而有

a=-1 a+4b=-9

，解得a=-1，b=-2．
故所求函數(shù)解析式為f（x）=-x²+4x-2．
（III）由已知得x1+x2=-

4

a

，x1x2=

b

a

，又由α＜1＜β＜2，
可得α+β=-

3

a

＜0，αβ=

b

a

＜2，
故-

1

a

＜1，且 (x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=

b

a

-

4

a

+1=＜2+4+1=7．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．